Упрощенная HTML-версия
6
ÐÎÄÎÂÀß ÇÅÌËß
¹5-6 (11-12), èþíü-èþëü 2005 ã.
Àðòåôàêò ÷èñëà
π
êàê îøèáêà
íîñòü âñåãî ïîëà âàñ óæå íå èíòåðå-
ñóåò, à òîëüêî åãî ïîëîâîé êàíòèê, íå
òàê ëè?
Òåïåðü, ïîæàëóéñòà, ñïðîñèòå
ñåáÿ, òîâàðèùè ó÷¸íûå è íåó÷¸íûå
ñåêðåòàðè, âû ÎÙÓÙÀÅÒÅ ðàçëè÷èå
ìåæäó ëèíèåé è ôèãóðîé? Ëèíèÿ -
ýòî òîæå ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà,
èìåþùàÿ âïîëíå îïðåäåë¸ííûå õà-
ðàêòåðèñòèêè, òàêèå, êàê ðàçìåð
(äëèíà). Íî ëèíèÿ, â îòëè÷èå îò ïîë-
íîöåííîé ôèãóðû, íå èìååò ïîâåðõ-
íîñòè. Êàê, ïî-âàøåìó, åñòü îùóòè-
ìîå ôèçè÷åñêîå ðàçëè÷èå ìåæäó öå-
ëîé ÏÈööåé è áóáëèêîì ñ äûðêîé?
Èëè âîò íàãëÿäíûé ãåîãðàôè÷åñêèé
ïðèìåð: ãîñóäàðñòâåííàÿ ãðàíèöà
Ðîññèè. Ýòî âåäü âñåãî ëèøü ëèíèÿ.
Êîíòóð, îêàéìëÿþùèé òåððèòîðèþ
ñòðàíû. Äëèíà ëèíèè (â äàííîì ïðè-
ìåðå – ãîñóäàðñòâåííîé ãðàíèöû)
èçìåðÿåòñÿ â (êèëî)-ìåòðàõ. Ïîâåð-
õíîñòü æå ôèãóðû ( òåððèòîðèè ñòðà-
íû â íàøåìïðèìåðå) õàðàêòåðèçóåò-
ñÿ (èçìåðÿåòñÿ) êâàäðàòíûìè (à ïî-
÷åìó íå êðóãëûìè?) (êèëî)-ìåòðàìè.
Ïîâåðõíîñòü åñòü ó÷àñòîê, çàíèìàå-
ìûéôèãóðîé (ñòðàíîé) íà ïîâåðõíî-
ñòè Çåìíîãî øàðà, êîòîðûé è îãðà-
íè÷åí ýòîé ñàìîé ãðàíèöåé. Çàìåòü-
òå, ïîæàëóéñòà, ÷òî ó÷àñòîê ýòîò
èìåííî íà ïîâåðõíîñòè Çåìíîãî
ØÀÐÀ, à íå ïëàíåòíîãî êóáà èëè ÏÈ-
ðàìèäû!
Áàíàëüíûå âðîäå âåùè, ïðàâ-
äà, äà è ïðè÷¸ì çäåñü ÷èñëîÏè? À âîò
ïðè÷¸ì. Ïîçâîëüòå ìíå âàñ ñïðî-
ñèòü, ãîñïîäà Äåéñòâèòåëüíûå ×ëå-
íû è æàæäóùèå ñâîåé î÷åðåäè êîð-
ðåñïîíäåíòû, êàíäèäàòû â àêàäåìè-
êè. Íàñåëåíèå ñòðàíû ãäå æèâ¸ò: íà
êàíòèêå? Íà ãîñóäàðñòâåííîé êîí-
òóðíîé ïîãðàíè÷íîé ëèíèè, òåîðåòè-
÷åñêè íå èìåþùåé òîëùèíû èëè æå
âñ¸-òàêè íà ïîâåðõíîñòè? Âû ñìîã-
ëè ÏÎ×ÓÂÑÒÂÎÂÀÒÜ ýòó ðàçíèöó?
Äàâàéòå òåïåðü îïðåäåëèìñÿ â òåð-
ìèíàõ.
Ïåðèìåòð íåêîåé ïîâåðõíîñò-
íîé (òî åñòü îáëàäàþùåé ïîâåðõíî-
ñòüþ) ôèãóðû åñòü ëèíèÿ. Â òåðìèíàõ
ãåîìåòðèè Åâêëèäà – òåîðåòè÷åñêè
íå èìåþùàÿ òîëùèíû.  ñëó÷àå ñ
êâàäðàòîì, íàïðèìåð, ïåðèìåòð
êâàäðàòà – ýòî ïëîñêàÿ ðàìêà. Çàìê-
íóòàÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç
4 ðàâíûõ îòðåçêîâ, êîòîðûå ñîåäèíå-
íûìåæäó ñîáîé ñâîèìè êîíöàìè ïîä
óãëîì 90 ãðàäóñîâ. Äëèíà ñòîðîíû
êâàäðàòà åñòü äëèíà îäíîãî èç îòðåç-
êîâ åãî ïåðèìåòðà. Èýòà äëèíà è åñòü
ãëàâíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êâàäðàòà-
ëèíèè è êâàäðàòà-ïîâåðõíîñòè. Òå-
ïåðü îáðàòèìñÿ ê ñèòóàöèè ñ êðóãîì
è îêðóæíîñòüþ. Îêðóæíîñòü åñòü âñå-
ãî ëèøü ëèíèÿ. Ýòî çàìêíóòàÿ êðèâàÿ.
Îáðó÷. Áóáëèê. Êîëüöî áåç Âëàñòåëè-
íà. Íå÷òî, èìåþùåå êîíêðåòíûå ðàç-
ìåðû (äëèíó), íî íå èìåþùåå ïîâåð-
õíîñòè. È ëèíèÿ ýòà ÿâëÿåòñÿ ïåðè-
ìåòðîì öåëüíîãî êðóãà, êîòîðûé
îêàéìë¸í ýòîé ñàìîé îêðóæíîñòüþ.
Ó öåëüíîãî êðóãà (íàãëÿäíî - ó ÏÈö-
öû, ýòîãî èòàëüÿíñêîãî áëèíà ñ ñû-
ðîì) åñòü ïîâåðõíîñòü, è íà íåé òî
êàê ðàç è íàõîäèòñÿ âêóñíûé ñûð. À ó
áóáëèêà, êàê íàì âñåì î÷åíü õîðîøî
èçâåñòíî, â ñåðåäèíå íèêàêîé ìó÷-
íîé ïîâåðõíîñòè íåò, òîëüêî äûðêà.
Âîò èíòåðåñíûé ôàêò: â ñèòóàöèè ñ
ôèãóðàìè, èìåþùèìè ãëàäêèå ôîð-
ìû (êðóã è îêðóæíîñòü) èñòîðè÷åñêè
ñëîæèëîñü òàê, ÷òî è â ðóññêîì è äðó-
ãèõ ÿçûêàõ ñóùåñòâóþò ðàçäåëüíûå
òåðìèíû äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôè-
ãóð: «êðóã» è «îêðóæíîñòü». À âîò äëÿ
òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà, ðîìáà è äðó-
ãèõ óãëîâàòûõ ôîðì â ñëó÷àå íåîáõî-
äèìîñòè ïðèõîäèòñÿ îãîâàðèâàòü
îñîáî, èìååì ëè ìû ââèäó òîëüêî
ïåðèìåòð ñîîòâåòñòâóþùåé êîíôè-
ãóðàöèè èëè æå «ïîëíîöåííóþ» ôè-
ãóðó ñ ïîâåðõíîñòüþ. Ëè÷íî ìíå êà-
æåòñÿ, ýòî ïðîèçîøëî èìåííî ïîòî-
ìó, ÷òî â Ïðèðîäå íåò êóáîâ è ÏÈðà-
ìèä, à åñòü øàðû.
ÏÈ ìîæåò áûòü ðàâíûì…
À âîò òåïåðü ñàìîå âðåìÿ ïî-
ãîâîðèòü î ïîâåðõíîñòÿõ, íà êîòî-
ðîé íåêèé ïåðèìåòð (êðóãëûé ëè,
êâàäðàòíûé, òðåóãîëüíûé èëè ãîñó-
äàðñòâåííî-ïîãðàíè÷íûé) ìîæåò
÷òî-ëèáî îêàéìëÿòü. Î÷åíü ÷àñòíûé
ñëó÷àé íîìåð 1. Ïóñòü ó÷àñòîê âûäå-
ëÿåìîé ïîâåðõíîñòè èäåàëüíî ãëàä-
êèé è èäåàëüíî ïëîñêèé. Òîãäà êâàä-
ðàòíàÿ ðàìêà ïåðèìåòðà îãðàíè÷èò
êâàäðàò. È ýòîò êâàäðàò áóäåò íå÷òî
âðîäå îáû÷íîãî çåðêàëà. ×óòü áîëåå
îáùèé ñëó÷àé 2. Åñëè æå íåêàÿ ïî-
âåðõíîñòü èäåàëüíî ãëàäêàÿ, íî èçîã-
íóòàÿ, íàïðèìåð, êàê ¸ëî÷íàÿ èãðóø-
êà,òîãäà ïðè íàëîæåíèè ðàìêè ïåðè-
ìåòðà ìû òîæå ïîëó÷èì êâàäðàò. Íî
òàêîé êâàäðàò ñãîäèòüñÿ ðàçâå ÷òî
êàê çåðêàëî äëÿ êîìíàòû ñìåõà.
Âîçüì¸ìñèòóàöèþåù¸ áîëåå ðåàëü-
íóþ. Ïóñòü â êà÷åñòâå ðàññìàòðèâà-
åìîé ïîâåðõíîñòè âçÿòà ïîâåðõíîñòü
Çåìíîãî øàðà. ØÀÐÀ, à íå êóáà èëè
ÏÈðàìèäû! Âû ãëîáóñ êîãäà ïîñëå-
äíèé ðàç âèäåëè? Äà è òî â ìóçåå.
Ïîíÿòíî. Òàê âîò, íà ïîâåðõíîñòè íà-
øåãî îêðóãëîãî è òð¸õìåðíîãî Çåì-
íîãî ØÀÐÀ íàõîäÿòñÿ ðåêè è ìîðÿ,
ãîðû è äîëèíû. Ïóñòü â êà÷åñòâå îã-
ðàíè÷èâàþùåãî òàêóþ ïîâåðõíîñòü
ïåðèìåòðà âûñòóïàåò ãîñóäàðñòâåí-
íàÿ ãðàíèöà Ðîññèè. Ïîíÿòíîå äåëî,
÷òî, íàëîæèâ ïîãðàíè÷íûé ïåðèìåòð
íà Çåìíóþ ïîâåðõíîñòü, ìû ïîëó÷èì
íå ÷òî èíîå, êàê òåððèòîðèþ ÑÀÌÎÉ
ÁÎËÜØÎÉ ÏÎ ÐÀÇÌÅÐÀÌ ñòðàíû ñ
ðåàëüíîé àìïëèòóäîé ðåëüåôà. Áóäü
âû Àêàäåìèêàìè â Âàòèêàíå èëè Ëèõ-
òèøòåéíå - ýòî áûëî áû ïðîñòèòåëü-
íî. Íî Ðîññèè ñ å¸ 9-òüþ ÷àñîâûìè
ïîÿñàìè! Íàäåþñü, ÷òî òåïåðü âñåì
ñòàëî ÿñíî, ïî÷åìó âûðàæåíèÿ òèïà
«ïëîñêî ìûñëèøü» è «ó âàñ âñå èçâè-
ëèíû ïðÿìûå» íå ÿâëÿþòñÿ êîìïëè-
ìåíòàìè â îïðåäåë¸ííûõ êðóãàõ?
Âîò ñ ýòèì ìûñëåííûì èçãèáîì è
íàäî äóìàòü, ÷èòàÿ ñòàòüþ. Ïîïóòíî
çàìå÷ó, ÷òî îò ðîæäåíèÿ ó íàñ ó âñåõ
èçâèëèíû èçâèëèñòûå. Èõ ðàñïðÿì-
ëÿþò è êðèñòàëëèçóþò íàì óæå ïîç-
æå, â ïðîöåññå òàê íàçûâàåìîãî îáó-
÷åíèÿ â ñðåäíåé è âûñøåé øêîëå. È
÷åì âûøå ïî àêàäåìè÷åñêîé ëåñòíè-
öå, òåì (êàê áû ýòî ïîìÿã÷å âûðàçèò-
ñÿ â ïîíÿòíûõ âàì òåðìèíàõ) ñèëüíåå
ñòðåìèòñÿ ê íóëþýíòðîÏÈÿìîçãîâî-
ãî âåùåñòâà. Àêàäåìèêàì ïî ãåîãðà-
ôèè ðàçðåøåíî íå îáèæàòüñÿ.
Ñðåçàâ òàêèì îáðàçîì óãëû,
ïåðåéä¸ì îò êâàäðàòíûõ ê îêðóãëûì
ôîðìàì. Î÷åâèäíî, ÷òî îäíà è òà æå
ëèíèÿ (îäíà è òà æå îêðóæíîñòü-êîí-
òóð) ìîæåò ñëóæèòü ïåðèìåòðîì äëÿ
äâóõ öåëüíûõ è êðóãëûõ (åñëè ñìîò-
ðåòü íà íèõ ñâåðõó), íî ïðèíöèïèàëü-
íî ðàçíûõ ôèãóð. Âî-ïåðâûõ, íåêàÿ
îêðóæíîñòü åñòü ïåðèìåòð êðóãà ñ
èäåàëüíî ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ
èëè, òàê íàçûâàåìîãî, «Åâêëèäîâà
êðóãà». Íàçûâàåìîãî òàê ïî èìåíè
ãðå÷åñêîãî ìûñëèòåëÿ Åâêëèäà, îáî-
çíà÷èâøåãî â ñâî¸ì çíàìåíèòîì
òðàêòàòå «Íà÷àëà» åù¸ 23 âåêà íà-
çàä îñíîâû ïëîñêîé ãåîìåòðèè, êî-
òîðóþ, óâû, ïðåïîäàþò äî ñèõ ïîð.
Âîò ïðèìåðû Åâêëèäîâûõ êðóãîâ:
ìîíåòà, êîìïàêò-äèñê, ãðàììîôîí-
íàÿ ïëàñòèíêà (äëÿ òåõ, êòî ïîìíèò,
÷òî ýòî òàêîå). À âî-âòîðûõ, òà æå ñà-
ìàÿ îêðóæíîñòü ìîæåò ñëóæèòü ïåðè-
ìåòðîì èçîãíóòîãî èëè, òàê íàçûâà-
åìîãî, «íåÅâêëèäîâà» êðóãà. Ïðèìå-
ðû íåÅâêëèäîâûõ êðóãîâ: êîíòàêò-
ëèíçà, òàçèê îáûêíîâåííûé áûòîâîé,
ñïóòíèêîâàÿ «òàðåëêà», çåðêàëî äëÿ
òåëåñêîïà, ïîâåðõíîñòü çîíòèêà, êó-
ïîë çäàíèÿ, àáàæóð äëÿ ëþñòðû â
âèäå ïîëóñôåðû è ò.ä. Åù¸ ðàç îòìå-
÷ó, ÷òî ñàìà ïî ñåáå îêðóæíîñòü - ýòî
òîæå ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà. Íî ýòî
ôèãóðà áåç ïîâåðõíîñòè, áåç ïðå-
ñëîâóòûõ êâàäðàòíûõ (âñ¸-òàêè êâàä-
ðàòíûõ?) êèëîìåòðîâ å¸ âîîáðàæàå-
ìîé ïëîùàäè. Èíûìè ñëîâàìè - ëè-
íèÿ åñòü ôèãóðà áîëåå íèçêîãî ïî-
ðÿäêà.
Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî îò-
ðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå òî÷êè íà
ïîâåðõíîñòè èçîãíóòîãî íåÅâêëèäî-
âà êðóãà, åñòü èçîãíóòûé îòðåçîê.
Ïîòîìó, ÷òî òàêîé îòðåçîê ïðèíàäëå-
æèò ýòîé ñàìîé èçîãíóòîé ïîâåðõíî-
ñòè. Â òî âðåìÿ êàê îòðåçîê íà ïîâåð-
õíîñòè èäåàëüíî ïëîñêîãî Åâêëèäî-
âà êðóãà åñòü, ðàçóìååòñÿ, ïðÿìîé
îòðåçîê. È åñëè ñâåðõó ïîñìîòðåòü
íà îáà êðóãà, îãðàíè÷åííûõ îäíîé è
òîé æå îêðóæíîñòüþ è çàáûòü îá
èìåþùåéñÿ êðèâèçíå îäíîãî èõ íèõ,
òî, èìåÿ âîçìîæíîñòü ãëÿäåòü òîëü-
êî ñâåðõó, ìû íå óâèäèì ðàçíèöû.
Ïðè âçãëÿäå ñâåðõó îáà ïåðèìåòðà
ñîâïàäóò, ñîâïàäóò ïîëîæåíèÿ òî÷åê
íà ïîâåðõíîñòÿõ îáîèõ êðóãîâ è ÊÀ-
ÆÓÙÅÅÑß ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè.
Íî åñëè ïîñìîòðåòü íà îáà êðóãà ñáî-
êó, òî ðàçíèöà ñòàíåò î÷åâèäíîé. Îáà
ïåðèìåòðà, ïðåäñòàâëåííûå îäíîé è
òîé æå ñàìîé áåñïîâåðõíîñòíîé îê-
ðóæíîñòüþ, áåçóñëîâíî, èìåþò îäè-
íàêîâóþ äëèíó. Ïðè âçãëÿäå ñáîêó
îêðóæíîñòü-ïåðèìåòð áóäåò âûãëÿ-
äåòü êàê ïðÿìîé îòðåçîê. Íî ñ ïîâåð-
õíîñòÿìè âîçìîæíû âàðèàíòû. Ïî-
ñêîëüêó ïîâåðõíîñòü Åâêëèäîâà êðó-
ãà ïëîñêàÿ, à íååâêëèäîâà - âûïóêëàÿ
(èëè âîãíóòàÿ, åñëè âàì òàê áîëüøå
íðàâèòñÿ), òî ýòî (êàê ãîâîðÿò âÎäåñ-
ñå) óæå äâå ÁÎËÜØÈÅ ðàçíèöû. Ñòà-
íîâèòñÿ ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî
íå òîëüêî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ
òî÷êàìè íà ïîâåðõíîñòÿõ îáîèõ êðó-
ãîâ áóäåò ðàçíîå, íî è ïëîùàäè ïî-
âåðõíîñòåé îáîèõ êðóãîâ áóäóò îòëè-
÷àòüñÿ.
Ïðèâåäó ïîÿñíåíèå íà ïîíÿò-
íîì áûòîâîì ÿçûêå. Ãîñïîäà àêàäå-
ìèêè, âû îïÿòü ñòðîèòåëè, íî óæå íå
ïëîòíèêè, à íà âñå ðóêè ìàñòåðà. Íà
ýòîò ðàç âû ðàáîòàåòå íà ðåñòàâðà-
öèè çäàíèÿ öèðêà. Åñëè ïåðåä âàìè
ïîñòàâëåíà çàäà÷à óñòëàòü êîâðàìè
àðåíó öèðêà, òî ýòî îäèí ðàñõîä ìà-
òåðèàëà â êâàäðàòíûõ (â ñìûñëå -
ïîâåðõíîñòíûõ) ìåòðîâ êîâðîâîãî
ïîêðûòèÿ, ñ÷èòàÿ îáðåçêè. Òåïåðü
âàì äîïîëíèòåëüíî ïîðó÷èëè åù¸ è
îáíîâèòü ÷åðåÏÈöó íà êóïîëå çäà-
íèÿ. ßñíîå äåëî, ÷òî âñå ðàñ÷¸òû ïî
çàòðàòàì íà êîâðîâîå ïîêðûòèå äëÿ
ïëîñêîé àðåíû â ïðèìåíåíèè ê âû-
ïóêëîìó êóïîëó îêàæóòñÿ ñîâåðøåí-
íî áåñïîëåçíûìè. È ýòî íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî è èçîãíóòûé êóïîë è ïëîñêàÿ
àðåíà èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó ïå-
ðèìåòðà (îêðóæíîñòè), ïðåäñòàâëåí-
íîãî òåì ñàìûì áàðüåð÷èêîì, îêàé-
ìëÿþùèì àðåíó, ïî êîòîðîìó îáû÷-
íî áåãàåò ñîáà÷êà, îòâëåêàÿ ïóáëèêó
ïðè ñìåíå äåêîðàöèé.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå êðè-
âèçíó ïîâåðõíîñòè íåÅâêëèäîâà êðó-
ãà, âîîðóæ¸ííûå çäðàâûì ñìûñëîì
è ïðàêòè÷åñêèì îïûòîì ïî íàáèâà-
íèþ ïëèíòóñà, íàñòèëàíèþ êîâðîâ è
êëàäêè ÷åðåÏÈöû íà êóïîëå, ìû âñå
âûíóæäåíû áóäåì ïðèçíàòü ñëåäóþ-
ùåå. 1) Ïëîñêèé (Åâêëèäîâ) êðóã åñòü
âñåãî ëèøü î÷åíü ÷àñòíûé ñëó÷àé
îáøèðíîãî ñåìåéñòâà íåïëîñêèõ
(íåÅâêëèäîâûõ) êðóãîâ. 2) Äëèíà
èçîãíóòîãî îòðåçêà (äóãè) âñ¸ æå íå-
ñêîëüêî áîëüøå äëèíûèäåàëüíî ïðÿ-
ìîãî îòðåçêà (õîðäû), íà êîòîðóþ
òàêàÿ äóãà îïèðàåòñÿ. Âîò çäåñü ïî-
ïîäðîáíåå. Äàâàéòå ïðîâåä¸ì ñà-
ìóþäëèííóþäóãó íà ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
íåÅâêëèäîâîãî ÊÐÓÃÀ, ñîåäèíÿþ-
ùóþ äâå ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè íà
åãî îêðóæíîñòè è ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç
ÅÃÎ öåíòð. Ìû ïîëó÷èì íå ÷òî èíîå,
êàê ÄÈÀÌÅÒÐ íåÅâêëèäîâà êðóãà.
Îïðåäåëåíèå êðóãà äîëæíî äàâàòüñÿ
â òåðìèíàõ ôèãóð âðàùåíèÿ, à íå êàê
«ñîâîêóïíîñòü òî÷åê ïëîñêîñòè, ðàâ-
íîîòñòîÿùèõ îò åãî öåíòðà». Òàêæå
î÷åâèäíî, ÷òî ÄÈÀÌÅÒÐ íåÅâêëèäî-
âà êðóãà, êàê åãî íè êðóòè, âñ¸ æå íå-
ñêîëüêî áîëüøå äëèíûèäåàëüíî ïðÿ-
ìîãî îòðåçêà-äèàìåòðà ñâîåãî ïëîñ-
êîãî ñîáðàòà. 3) Òîãäà çíàìåíèòîå
÷èñëî Ïè, êàê îòíîøåíèå äëèíû ïå-
ðèìåòðà ê äëèíå äèàìåòðà, äëÿ ðàç-
íûõ ÊÐÓÃÎÂ (â íàøåì ïðèìåðå - àðå-
íû è êóïîëà) áóäåò ðàçíîå. Êëàññè-
÷åñêîå çíà÷åíèå Ïè, ïðèáëèæ¸ííî
ðàâíîå 3,14159265358… , âåðíî
ëèøü äëÿ î÷åíü ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ èäå-
àëüíî ïëîñêîãî êðóãà, äà è òî ñ î÷åíü
áîëüøîé íàòÿæêîé. Òî, ÷òî ïûòàåòñÿ
ñäåëàòü íàóêà, – îõâàòèòü âñ¸ôîðìó-
ëîé. Òàê âîò, â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå,
â çàâèñèìîñòè îò êðèâèçíû ïîâåðõ-
íîñòè âîçìîæíûõ íååâêëèäîâûõ êðó-
ãîâ (êóïîëîâ ðàçíîé êðèâèçíû), Ïè
ìîæåò áûòü ðàâíî òð¸ì, äâóì è
äàæå... áåðåãè êðûøó, Ñåíÿ! ... åäè-
íèöå!
ß âïîëíå îòäàþ ñåáå îò÷¸ò â
òîì, ÷òî îáðàòíûé àäðåñ «Pi.O. Box,
Amsterdam, Holland» è çàÿâëåíèÿ
òèïà «Ïè ìîæåò áûòü ðàâíî òð¸ì,
äâóì è åäèíèöå», íå ñïîñîáñòâóþò
òîìó, ÷òîáû îòíåñòèñü ê íàÏÈñàííî-
ìó ñåðü¸çíî. Ìîë äå, àâòîð ýòèõ
ñòðîê ìåñòíîé ãîëëàíäñêîé áåëåíû
îáúåëñÿ - îòòîãî è êóïîë ñúåõàë íà-
áåêðåíü. Óâû, óâàæàåìûå ÷ëåíû àêà-
äåìèè, îòøóòèòüñÿ íå óäàñòñÿ!
Âîò åù¸ îäèí âåñüìà íàãëÿä-
íûé ïðèìåð è îïÿòü ñ ãåîãðàôè÷åñ-
êèì óêëîíîì. Åñòü ëè ñðåäè âàñ àêà-
äåìèêè ïî ãåîãðàôèè?
Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âàì íàäî
ïðîäåëàòü ïóòü èç ðîññèéñêîãî
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà â àìåðèêàíñêóþ
äåðåâíþÑüþàðä, ÷òî íàõîäèòñÿ ÷óòü
þæíåå Àíêîðèäæà. Äåðåâíÿ ýòà, êàê
è ìîé ðîäíîé Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, òîæå
ðàñïîëîæåíà íà ñåâåðíîé 60-îé ïà-
ðàëëåëè, íî íà ïðîòèâîïîëîæíîé
ñòîðîíå ýòîé ñàìîé ïàðàëëåëè, â
Çàïàäíîì ïîëóøàðèè, íà Àëÿñêå. Ó
âàñ (è ó íàñ) åñòü âûáîð. Âî-ïåðâûõ,
ìîæíî äâèãàòüñÿ íà Âîñòîê, äåðæàñü
60-îé ïàðàëëåëè, ÷åðåç âñåÿ Ðóñü,
áåç âèçû è çàãðàíïàñïîðòà. Èç ÏÈ-
òåðà ÷åðåç Ñåâåðî-Óðàëüñê, ìèìî
Ìàãàäàíà, îñòàëîñü ïåðåéòè âáðîä
Áåðèíãîâ ïðîëèâ, íó à òàì è äî çà-
âåòíîé öåëè íåäàëåêî. Âî-âòîðûõ,
ìîæíî (åñëè âèçó äàäóò!) äâèãàòüñÿ
èç Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà â Çàïàäíîì íà-
ïðàâëåíèè, ÷åðåç Îñëî (Íîðâåãèÿ). Â
Îñëî ïîëþáîâàòüñÿ öåðåìîíèåé
ïðèñóæäåíèÿ Àáåëåâñêèõ ïðåìèé ïî
ìàòåìàòèêå. Ñëûøàëè ïðî òàêóþ?
Íîðâåæñêàÿ Êîðîëåâñêàÿ Àêàäåìèÿ
Íàóê íåäàâíî ýòó ïðåìèþ ó÷ðåäèëà
â ïðîòèâîâåñÍîáåëåâêå, êîòîðàÿ äëÿ
ìàòåìàòèêîâ áûëà çàêðûòà â ñèëó
ëè÷íûõ íåæåëàíèéÍîáåëÿ. Äâèãàåì-
ñÿ äàëüøå. Âïëàâü äî Ëåðâèêà (Øåò-
ëàíñêèå îñòðîâà), ïîòîì ïåðåïëûòü
Àòëàíòè÷åñêèé îêåàí, ñòðîãî äåð-
æàñü âñ¸ òîé æå 60-îé îòìåòêè, äàáû
íå ñáèòüñÿ ñ êóðñà. Ïåøêîì ÷åðåç
âñþ Êàíàäó, è âîò îíà – Àëÿñêà: ñíåã
ñâåðêàåò â ñîëíå÷íûõ ëó÷àõ. Ñîâåð-
øåííî î÷åâèäíî, ÷òî äëèíà îáîèõ ïó-
òåé ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâà, åñëè
ïðåíåáðå÷ü ðàçëè÷èåì â àìïëèòóäå
Çåìíîãî ðåëüåôà. Äëèíà êàæäîãî
ïóòè (íà Çàïàä ëè, íà Âîñòîê) ðàâíà
ïîëîâèíå äëèíû îêðóæíîñòè, îáî-
çíà÷åííîé íà ãëîáóñå 60-îé ïàðàëëå-
ëüþÑåâåðíîãî ïîëóøàðèÿ. Êàêèì-òî
÷óäîì ìû âñ¸ åù¸ ïîìíèì, ÷òî æè-
â¸ì íà ïîâåðõíîñòè ãèãàíòñêîãî
øàðà è ëþáàÿ ïàðàëëåëü, âêëþ÷àÿ
íóëåâóþ (Ýêâàòîð) åñòü îãðîìíàÿ îê-
ðóæíîñòü. Íî æèâ¸ì òî ìû è ïåðåìå-
ùàåìñÿ â ðåàëüíîé æèçíè íå ïî îê-
ðóæíîñòè, à ïî ïîâåðõíîñòè. È 60-àÿ
Ñåâåðíàÿ ïàðàëëåëü îêàéìëÿåò íà
ïîâåðõíîñòè Çåìíîãî øàðà íåêèé
ðåàëüíûé, íåÅâêëèäîâ êðóã âåñüìà
âíóøèòåëüíûõ ðàçìåðîâ. Çíà÷èò (è
ýòî óæå â-òðåòüèõ), ìîæíî íå òîïàòü
â îáõîä, à «ñðåçàòü», ïîéäÿ íàïðÿ-
ìóþ îò Ñàíòê-Ïåòåðáóãðà ÷åðåç Áàò-
ñôüîðä (Íîðâåãèÿ)-Ñåâåðíûé Ïî-
ëþñ-Áèè÷è Ïîéíò-Ñüþàðä. Òî åñòü
ìîæíî äâèãàòüñÿ âäîëü äà ïî äèà-
ìåòðó ýòîãî îãðîìíîãî íåÅâêëèäîâà
êðóãà. È ïóñòü â ïåñíÿõ «íîðìàëüíûå
ãåðîè âñåãäà èäóò â îáõîä» æèòåéñ-
êàÿ ëîãèêà ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ñðåçàòü
íàïðÿìóþ âñåãäà êîðî÷å, ÷åì òîïàòü
â îáõîä. À âî ñêîëüêî ðàç êîðî÷å? Âîò
òóò-òî âàì, ãîñïîäà àêàäåìèêè, è ïî-
íàäîáÿòñÿ çíàíèÿ, ïðèîáðåò¸ííûå
åù¸ âøêîëå íà óðîêàõ ãåîìåòðèè. Íî
íå òîðîïèòåñü äåëèòü äëèíó Ñåâåð-
íîé 60-îé ïàðàëëåëè íà ïå÷àëüíî
çíàìåíèòûå 3,14... , äàáû ïîëó÷èòü
èñêîìóþ äëèíó ïóòè íàïðÿìóþ, òî
áèøü äèàìåòðà. Êëàññè÷åñêîå çíà-
÷åíèå Ïè 3,14… èìåííî â ýòîé ñèòó-
àöèè âàì íå ïðèãîäèòñÿ. Ïî÷åìó?
Ïîòîìó ÷òî åñëè ðàçäåëèòü äëèíó 60-
îé ïàðàëëåëè íà òóïî çàçóáðåííûå
3,14..., òî ìû ïîëó÷èì íå ÷òî èíîå,
êàê äëèíó... ÒÎÍÍÅËß «Ñàíêò-Ïåòåð-
áóðã-Ñüþàðä»…
Äåðæèòåñü çà êóïîë
Îòðåçîê êàêîé ôîðìû ñ÷èòàòü
äèàìåòðîì ýòîãî âïîëíå ðåàëüíîãî
íååâêëèäîâà êðóãà, îêàéìë¸ííîãî
60-îé Ñåâåðíîé îêðóæíîñòüþ: ïðÿ-
ìîé èëè èçîãíóòûé? Åæåëè Ïè âñå-
ãäà, âåçäå è íà âñå ñëó÷àè æèçíè ïðè-
áëèçèòåëüíî ðàâíî 3,14.., òî èç ýòî-
ãî «àâòîìàòîì» ñëåäóåò, ÷òî ìû äîë-
æíû ïðèíèìàòü çà äèàìåòð íå ðåàëü-
íûé è èçîãíóòûé (åñëè ñìîòðåòü íà
íåãî ñáîêó) îòðåçîê ïóòè «Ñàíêò-Ïå-
òåðáóðã-Ñåâåðíûé Ïîëþñ-Ñüþàðä»
ÏÎ çåìíîé è âîäíîé ïîâåðõíîñòè, à
ïðÿìîé (êàê åãî íè êðóòè) òîííåëü
«Ñàíêò-Ïåòåðáóðã-Ñüþàðä» ÏÎÄ ïî-
âåðõíîñòüþ Ïëàíåòû. Âåäü ñîãëàñíî
ïëîñêîìó ìûøëåíèþ, êîòîðûì íàñ
âñåõ òàê ïðî÷íî îáîëâàíèëè åù¸ â
øêîëå, êðèâûõ ïîâåðõíîñòåé ïðîñòî
íå ñóùåñòâóåò. Ìû æèâ¸ì íà ïëîñ-
êîé, êàê íàñòåííàÿ ãåîãðàôè÷åñêàÿ
êàðòà, ÏÈööåîáðàçíîé ïëàíåòå, ãäå
Ïè íà âñå ñëó÷àè æèçíè ðàâíî
3,1415926... è òî÷êà! ×òî âû íà ýòî
ñêàæèòå, çàñëóæåííûå ëàóðåàòû Íî-
áåëåâñêèõ è Àáåëåâñêèõ ïðåìèé?
Îòâåòüòå íàì âñåì, ÏÈæàëóéñòà!
«Âñ¸ ãåíèàëüíîå ïðîñòî» - íà-
ðîäíîå ýìïèÏÈðè÷åñêîå ïðàâèëî.
«Ubi materia - ubi geometria»
(«Ãäå ìàòåðèÿ, òàì è ãåîìåòðèÿ») -
Èîãàíí Êåïëåð.
«Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñî-
ñòîèò íå â òîì, ÷òîáû âèäåòü òî, ÷òî
íèêòî íå âèäåë; à â òîì, ÷òîáû ÄÓ-
ÌÀÒÜ òàê, êàê íèêòî íå äóìàë î òîì,
÷òî âñå âèäÿò» - Ýðâèí Øð¸äèíãåð.
 ÷¸ì ðàçíèöà ìåæäó ÏÈööåé è
áóáëèêîì?
π
(Ïè), íåñîìíåííî, îäíà èç
íàèáîëåå óíèâåðñàëüíûõ è ôóíäà-
ìåíòàëüíûõ êîíñòàíò, èçâåñòíûõ ×å-
ëîâå÷åñòâó.  ñèëó ñâîåé óíèâåð-
ñàëüíîñòè ÷èñëî Ïè èñïîëüçóåòñÿ â
âû÷èñëåíèÿõ äëÿ ìèêðî- è ìàêðîêîñ-
ìîñà è âõîäèò êàê â ôîðìóëû, îïè-
ñûâàþùèå äâèæåíèå êîìåò, àñòåðî-
èäîâ, êîñìè÷åñêèõ êîðàáëåé è äðó-
ãèõ íåáåñíûõ òåë â àñòðîíîìèè, òàê
è â ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèé ýëåêò-
ðîííûõ îðáèò â êâàíòîâîé ôèçèêå è
êâàíòîâîé õèìèè. Âîçüìèòå â ðóêè
ïðàêòè÷åñêè ëþáîé ó÷åáíèê, ñïðà-
âî÷íèê, ýíöèêëîïåäèþ íà ðóññêîì
ÿçûêå, è â êàæäîì èõ íèõ âû ïðî÷ò¸-
òå (öèòèðóþ) «ãðå÷åñêîé áóêâîé
π
(Ïè) îáîçíà÷àþò îòíîøåíèå äëèíû
ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÈ ê Ũ äèàìåòðó». Åñëè
âûâëàäååòå èíîñòðàííûìÿçûêîì, òî
ïîïðîáóéòå ïîèñêàòü ýòî æå ñàìîå
îïðåäåëåíèå â ó÷åáíèêàõ íà äðóãîì
ÿçûêå.  àíãëî-ÿçû÷íûõ èñòî÷íèêàõ,
ïîñâÿù¸ííûõ ãåîìåòðèè, âû ïðî÷ò¸-
òå (îïÿòü öèòèðóþ): «ãðå÷åñêîé áóê-
âîé
π
(Ïè) îáîçíà÷àþò îòíîøåíèå
äëèíû îêðóæíîñòè ÊÐÓÃÀ ê ÅÃÎ äèà-
ìåòðó». Âû ïî÷óâñòâîâàëè ðàçíèöó,
äàìû è ãîñïîäà? Âîò èíòåðåñíî, à
îòêóäà âçÿëîñü òàêîå ðàçíî÷òåíèå â
îïðåäåëåíèè ÷èñëà Ïè? Äàâàéòå îñ-
òàâèì ïîêà ðàçëè÷èå â îïðåäåëåíèè
ýòîé êîíñòàíòíûíà ñîâåñòè ïåðåâîä-
÷èêîâ è àðõèâàðèóñîâ è îáðàòèìñÿ ê
èñòîðè÷åñêèì ôàêòàì.
Ê îäíîìó èç ñàìûõ ðàííèõ óïî-
ìèíàíèé î ÷èñëå Ïè îòíîñèòñÿ óïî-
ìèíàíèå â çíàìåíèòîé «Çàäà÷å î
Êâàäðàòóðå Êðóãà» - î ÿêîáû íåâîç-
ìîæíîñòè ïðè ïîìîùè òîëüêî öèðêó-
ëÿ è ëèíåéêè ïîñòðîåíèÿ êâàäðàòà,
ïëîùàäü êîòîðîãî â òî÷íîñòè ðàâíà
ïëîùàäè äàííîãî êðóãà. Íà ïðàêòèêå
ýòî îçíà÷àåò êàæóùóþñÿ íåäîñòóï-
íîñòü ïîñòðîåíèÿ ÷èñòî ãåîìåòðè-
÷åñêè (ïðè ïîìîùè òîëüêî öèðêóëè è
ëèíåéêè è áåç êàëüêóëÿòîðà - ïîíÿò-
íîå äåëî, îòêóäà ñòîëüêî ëåò íàçàä
âçÿòüñÿ êàëüêóëÿòîðó) îòðåçêà äëè-
íîé
π
«êâàäðàòíûé êîðåíü èç Ïè».
Çàìåòüòå, «òîâàðèùè ó÷¸íûå, äîöåí-
òû ñ êàíäèäàòàìè», ÷òî ðå÷ü â èçâåñ-
òíîé ãîëîâîëîìêå èä¸ò íå îá «îêâàä-
ðà÷èâàíèè îêðóæíîñòè», à èìåííî î
«êâàäðàòóðå êðóãà». Òî åñòü ñóòü çà-
äà÷è íå â ïðîöåññå òðàíñôîðìàöèè
ËÈÍÈÈ èç êðóãëîé â êâàäðàòíóþ, à â
ïîñòðîåíèè íîâîé ÔÈÃÓÐÛ: êâàäðà-
òà ñ ïîâåðõíîñòüþ, ðàâíîé ïî ïëîùà-
äè ïîâåðõíîñòè èñõîäíîé ôèãóðû
(êðóãà). Âîò åñëè áû ñóòü çàäà÷è ñâî-
äèëàñü ê ïðèðàâíèâàíèþäëèí ëèíèé,
à íå ê ïðèðàâíèâàþ ïëîùàäè ôèãóð,
òî òîãäà áûëî áû óìåñòíûì «îêðóæ-
íîñòíîå» îïðåäåëåíèå Ïè òàê, êàê
îíî íàì èçâåñòíî èç ó÷åáíèêîâ ïî
ãåîìåòðèè. È ìû âñ¸ ýòî âðåìÿ äîë-
æíû áûëè áû ðàññóæäàòü î êàæóùåé-
ñÿ íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ êâàä-
ðàòà, ïåðèìåòð êîòîðîãî â òî÷íîñòè
ðàâåí äëèíå èñõîäíîé îêðóæíîñòè.
Âû ñïîñîáíû ÏÐÎ×ÓÂÑÒÂÎÂÀÒÜ
ðàçíèöó ìåæäó ÏÅÐÈÌÅÒÐÎÌ è
ÏËÎÙÀÄÜÞ? Âåäü ãåîìåòðè÷åñêè
ýòî ñîâåðøåííî äðóãîå ïîíÿòèå!
Äóìàþ, ÷òî â ñèëó îïðåäåë¸í-
íûõ ñîöèàëüíûõ ïðè÷èí âàì, ãîñïî-
äà àêàäåìèêè, íå äîâåëîñü îñîçíàòü,
êàê ýòî âàæíî – æèòü ïî ïðàâèëüíûì
ïîíÿòèÿì.  ñèëó âñ¸ òåõ æå ñîöè-
àëüíûõ ïðè÷èí òîâàðèùè, æèâóùèå
ïî ïîíÿòèÿì, íå âëàäåþò àêàäåìè-
÷åñêîé òåðìèíîëîãèåé. È ïîñêîëüêó
ñåé îïóñ åñòü âñ¸ æå îòêðûòîå ÏÈñü-
ìî, òî ïðèâåäó òî æå ñàìîå îáúÿñíå-
íèå ïðî äëèíó ïåðèìåòðà è ðàçìåðû
ïëîùàäè íà ïîíÿòíîì äëÿ âñåõ áûòî-
âîì ÿçûêå. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû, ãîñ-
ïîäà Æðåöû Íàóêè, ñåãîäíÿ ðàáîòà-
åòå ïëîòíèêàìè, è âàøà çàäà÷à – íà-
ñòåëèòü êîâ¸ð èëè óëîæèòü ïàðêåò. Â
ýòîì ñëó÷àå âàñ, áåçóñëîâíî, èíòå-
ðåñóåò ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïîëà. À
âîò åñëè âàì çàâòðà íàäî íàáèâàòü
ïëèíòóñ â òîé æå êîìíàòå, òî ïîâåðõ-
Îòêðûòîå ÏÈñüìî â Àêàäåìèþ